Теоремы Менелая и Чевы практически не рассказываются в школе. Тем не менее, в учебниках они присутствуют, и это позволяет включать в экзамены, в том числе, в ЕГЭ, задачи на эти теоремы.
Формулировки и доказательства этих теорем можно встретить в сети на огромном количестве сайтов. Однако практически нигде не встречаются рекомендации по запоминанию этих теорем. Мне известно всего одна такая рекомендация. Понятно, что вдумчивый школьник, поработав с этими теоремами какое-то время, сам придет к тому, о чем я собираюсь рассказать. Проблема в том, что обычно такого времени не хватает, и способ запоминания становится актуальным.
1 Формулировка теоремы Менелая
Пусть прямая пересекает треугольник $ABC$, причем $C’$ – это точка ее пересечения со стороной $AB$ , $B’$ – точка ее пересечения со стороной $AC$ и $A’$ – точка ее пересечения с продолжением стороны $BC$ (рис. 1). Тогда имеет место соотношение:
$$ \bigg (\frac {AC’} {C’B} \bigg ) \cdot \bigg ( \frac {BA’} {A’C} \bigg ) \cdot \bigg ( \frac {CB’} {B’A} \bigg ) = 1$$
Доказательство теоремы Менелая очень простое. Например, один из распростаненных способов доказательства требует всего одного дополнительного построения. Через вершину $C$ проведите прямую, параллельную $AB$, и воспользуйтесь двумя парами подобных треугольников, которые при этом получаются. Недавно я записал видео с доказательством:
Справедлива также обратная теорема Менелая.
2 Как запоминать теорему Менелая
Вы просто берете любую вершину треугольника и начинаете обходить треугольник по сторонам, стартуя из этой вершины. Причем, каждый раз после вершины вы должны попасть в точку деления(точку со штрихом, промежуточную точку). То есть, если направление и порядок обхода такой, что вы пришли в вершину $C$ из вершины $A$, то из точки $C$ вы сначала придете в $A’$, а уже из $A’$ вы попадете в точку $B$. При движении по каждой из сторон вы пишете одно отношение с учетом выбранного вами направления обхода. Произведение трех получившихся отношений равно единице.
3 Теорема Чевы
В 1678 г. итальянский инженер Джованни Чева доказал следующую теорему
Определение. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками на противолежащих сторонах (или их продолжениях), называют чевианами, если они пересекаются в одной точке.
Возможны два варианта расположения чевиан. В одном варианте точка пересечения – внутренняя, а концы чевиан лежат на сторонах треугольника. Во втором варианте точка пересечения внешняя, конец одного чевиана лежит на стороне, а у двух других чевиан концы лежат на продолжениях сторон (смотри чертежи).
Прямая теорема Чевы.
В произвольном треугольнике $ABC$ на сторонах $BC$, $CA$, $AB$ или их продолжениях взяты соответственно точки $A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, такие, что прямые $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ пересекаются в некоторой общей точке, тогда
$$ \bigg (\frac {A C_{1} } { C_{1} B} \bigg ) \cdot \bigg ( \frac {B A_{1} } { A_{1} C} \bigg ) \cdot \bigg ( \frac {C B_{1} } { B_{1} A} \bigg ) = 1$$
Доказательство я не привожу, оно основано на двукратном применении теоремы Менелая.
Справедлива также обратная теорема Чевы.
4 Как запоминать теорему Чевы
Запоминаем совершенно так же, как теорему Менелая – выбираем вершину, из которой стартуем, и направления обхода. Дальше делаем все так же, как при получении формулировки теоремы Менелая.
5 Итог
Теоремы Менелая и Чевы не надо учить наизусть, надо запомнить принцип и те ситуации, в которых они справедливы. Запоминать с точностью до обозначений сами соотношения – дело не только неблагодарное, но и вредное. В моей статье с видео Отношения отрезков вы найдете примеры задач на теорему Менелая – часть из них решена, часть оставлена для упражнений.
