1 Постановка задачи, или что такое диофантово уравнение
В задаче на свойства чисел С7(19) довольно часто возникает необходимость решить диофантово уравнение:
$$Ax+By = C$$
Здесь целые коэффициенты $A$ и $B$ должны быть взаимно простыми числами, то есть, иметь наибольший общий делитель, равный 1. Решение мы ищем в целых числах.
2 Рассмотрим частный пример
Например, требуется решить уравнение
$$9x+5y = 1$$
Приведем один из способов решения. Их несколько, но мы приводим самый простой.
1 Найдем частное решение, то есть, подберем любые целые $x_0$ и $y_0$, удовлетворяющие этому уравнению. Находим, например:
$$x_0=-1$$
$$y_0=2$$
$$9\cdot(-1)+5\cdot(2)=1$$
2 Общее решение теперь дается формулами
$$x=-1+5n$$
$$y=2-9n, n \in Z$$
3 Решение в общем виде
Обобщая,
запишем общее решение
$$x=x_0+Bn$$
$$y=y_0-An, n \in Z$$
Потренируйтесь в решении диофантовых уравнений. Уравнения для тренировки вы можете написать сами, не забывая, что коэффициенты должны быть взаимно простыми.
78 total views, 1 views today