Формула дополнительного аргумента: общий случай

Содержание

  1.  Прагматическая тригонометрия — Введение
  2. Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ
  3. Первая группа выводимых формул
  4. Вторая группа выводимых формул
  5. Третья группа выводимых формул
  6. Формула дополнительного аргумента: частные случаи
  7. Формула дополнительного аргумента: общий случай
  8. Список формул. Что дальше?

В этой статье и видео репетитор по математике и физике, метро Отрадное, рассматривает общий случай формулы дополнительного аргумента.

1 Идея дополнительного аргумента

Если мы посмотрим еще раз на общую структуру того, что мы делали в предыдущей статье Формула дополнительного аргумента: частные случаи, мы увидим, что фактически то, что мы сделали, можно описать следующим образом: мы ввели дополнительный угол, так, что коэффициенты при синусе и косинусе превратились в косинус и синус этого дополнительного угла, соответственно. Давайте задумаемся о решении общей задачи: как превратить два произвольных числа $A$ и $B$ в синус и косинус некоторого угла $\phi$.

Ясно, что просто так, без каких-то преобразований, этого сделать не получится, так как синус и косинус по модулю не превосходят 1. Кроме того, нам нужно, чтобы полученные числа были именно синусом и косинусом. Значит, они должны удовлетворять основному тригонометрическому тождеству

$$ sin^2 \phi+ cos^2 \phi = 1 $$

Рассмотрим сумму

$$A+B$$

где где $A$ и $B$ — произвольные действительные числа. Совершим следующие тождественные преобразования:

$$ A+B = 1 \cdot (A+B) = \frac {\sqrt{A^2 + B^2}} {\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot (A+B) = $$
$$ ={\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot \bigg ( \frac {A} {\sqrt{A^2 + B^2}}+\frac {B} {\sqrt{A^2 + B^2}} \bigg) = $$
$$ ={\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot \bigg ( cos\, \phi + sin\, \phi  \bigg) $$
где
$$ cos\, \phi = \frac {A} {\sqrt{A^2 + B^2}} $$
$$ sin\, \phi = \frac {B} {\sqrt{A^2 + B^2}} $$

То, что мы сделали, гарантирует нам, что мы получили именно синус и косинус, поскольку сумма их квадратов всегда равна единице:

$$ sin^2\, \phi + cos^2\, \phi = $$
$$ = \bigg( \frac {B} {\sqrt{A^2 + B^2}} \bigg)^2 + \bigg( \frac {A} {\sqrt{A^2 + B^2}} \bigg)^2 = $$
$$ = \bigg( \frac {B^2} {A^2 + B^2} + \frac {A^2} {A^2 + B^2} \bigg) =1 $$

То есть, идея дополнительного аргумента в общем виде состоит в том, что два произвольных действительных числа всегда можно представить в виде синуса и косинуса некоторого угла, умноженного на нормирующий множитель $ {\sqrt{A^2 + B^2}} $. Как определить угол $ \phi $, который мы таким образом получаем? Обычно вычисляют арктангенс:

$$ tg \, \phi = \frac {sin\, \phi } { cos\, \phi }= \frac {B} {A} $$

Значит,

$$ \phi = arctg \, \bigg( \frac {B} {A} \bigg) $$

Но можно вычислить, например, арксинус:

$$ \phi = arcsin\, \bigg( \frac {B} {\sqrt{A^2 + B^2}} \bigg) $$

А если кто-то предпочитает аркосинус, то

$$ \phi = arccos\, \bigg( \frac {A} {\sqrt{A^2 + B^2}} \bigg) $$

На этом мы остановимся и не будем приводить формулу для любителей арккотангенса. Если таковые найдутся, они легко получат ее сами — им не привыкать идти трудными путями. Последнее, конечно, шутка, потому что арккотангенс в данной ситуации принципиально ничем не отличается от остальных тригонометрических функций.

2 Формула дополнительного аргумента в общем случае

В результате наших подготовительных действий мы эту формулу уже фактически вывели.

$$ A sin\, \beta +B cos\, \beta = 1 \cdot (A sin\, \beta +B cos\, \beta) = $$
$$=\frac {\sqrt{A^2 + B^2}} {\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot (A sin\, \beta +B cos\, \beta) = $$
$$ ={\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot \bigg ( \frac {A} {\sqrt{A^2 + B^2}}sin\, \beta+\frac {B} {\sqrt{A^2 + B^2}} cos\, \beta \bigg) = $$
$$ ={\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot \bigg ( sin\, \beta \cdot cos\, \phi + cos\, \beta \cdot sin\, \phi  \bigg) =$$
$$ ={\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot sin\, (\beta + \phi ) $$

где
$$ \phi = arctg \, \bigg( \frac {B} {A} \bigg) $$

3 Заключение

Примеры применения формулы дополнительного аргумента мы, для вашего удобства, приведем в отдельной статье.
На этом мы завершаем рассмотрение групп выводимых формул тригонометрии.
Успехов на экзаменах!


ДВИ МГУ по математике, ЕГЭ по математике, математика, тригонометрия

81 просмотров всего, 1 просмотров сегодня

Поделиться ссылкой: