Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ

Содержание

В этой статье и видео мы рассматриваем основные формулы тригонометрии, которые нужны нам для решения задач ЕГЭ, включая 13, 15(редко) и 18.

0 Тригонометрическая окружность и табличные значения тригонометрических функций

Тригонометрическая окружность – окружность радиуса единица, с центром в начале координат прямоугольной (декартовой) системы координат. То есть, тригонометрическая окружность представляет из себя два объекта – саму окружность и сопутствующие ей оси координат. На оси абсцисс, откладываются значения $sin \alpha$, а на оси ординат откладываются значения $cos \alpha$.

Подробное видео-объяснение тригонометрической окружности:

Угол $ \alpha $ отмеряется по окружности, как угол меджду неподвижным горизонтальным радиусом, и подвижным радиусом, который может свободно вращаться по всей окружности. Направление вращения против часовой стрелки – положительное, по часовой стрелке – отрицательное. То есть, любой поворот подвижного радиуса против часовой стрелки даст вам положительный угол, а против – отрицательный.

Для быстрого и безошибочного решения задач, связанных с тригонометрией, и, в частности, тригонометрических задач ЕГЭ, нужно уметь отмечать на окружности стандартные углы. Я назвал стандартными углы, которые чаще называют табличными – такие углы, значения синуса, косинуса и тангенса которых нужно помнить. Они перечислены в следующей минимальной таблице:

Угол $$ (\alpha) $$	$$ sin \alpha $$	$$ cos \alpha $$	$$ tg \alpha $$
0	0	1	0
$$ \frac {\pi} {6} $$	$$ \frac {1} {2} $$	$$ \frac {\sqrt{3}} {2} $$	$$ \frac {1} {\sqrt{3}} $$
$$ \frac {\pi} {4} $$	$$ \frac {\sqrt{2}} {2} $$	$$ \frac {\sqrt{2}} {2} $$	1
$$ \frac {\pi} {3} $$	$$ \frac {\sqrt{3}} {2} $$	$$ \frac {1} {2} $$	$$ {\sqrt{3}} $$
$$ \frac {\pi} {2} $$	1	0	не существует

Эта таблица минимальна в том смысле, что это самый необходимый для запоминания минимум. Как видите, перечисленные в первом столбце углы расположены в первой координатной четверти. Остальные углы, соответствующие табличным значениям функций и расположенные в других четвертях координатной плоскости, легко увидеть на тригонометрической окружности.

Вот неплохая интерактивная тригонометрическая окружность. С ее помощью можно потренировать табличные углы и значения тригонометрических функций. Можно поставить себе на смартфон специальное приложение, они есть под любую операционную систему.

Для того, чтобы выучить и закрепить табличные значения тригонометрических функций, на моем сайте дистанционного обучения для вас открыты тесты по основам тригонометрии. Вы можете войти, как гость, и проделать все тесты. Если вы хотите, чтобы система запомнила ваши результаты, и вам в личном кабинете была доступна статистика – зарегистрируйтесь, это не потребует больших усилий.

1 Теорема Пифагора и основное тригонометрическое тождество.

Я еще не встречал школьника, не знающего теорему Пифагора. Запоминается она легко.

$$a^2 +b^2=c^2$$

Определение синуса и косинуса тоже обычно люди помнят хорошо (если вдруг нет, это обязательный набор, надо выучить этот минимум):

$$ sin\, \alpha = \frac {a} {c} { }, { } cos\, \alpha = \frac {b} {c} $$

Теперь в теореме Пифагора разделим обе части равенства на $c^2$, и получим нашу первую формулу — основное тригонометрическое тождество:

$$ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 $$

2 Синус и косинус суммы и разности

Это — основные формулы. Для любознательных в приложении приведен простой геометрический вывод этих формул. Формул не четыре, а фактически две, потому что формула с минусом получается из формулы с плюсом, если учесть свойства нечетности синуса и четности косинуса. Но можно и запомнить четыре формулы.

$$ sin ( \alpha +\beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta + cos\, \alpha \cdot sin\, \beta $$
$$ sin ( \alpha – \beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta – cos \,\alpha\cdot sin\, \beta $$

$$ cos ( \alpha +\beta)=cos \,\alpha \cdot cos \,\beta – sin\, \alpha\cdot sin\, \beta $$
$$ cos ( \alpha – \beta)=cos\, \alpha \cdot cos\, \beta + sin\, \alpha \cdot sin\, \beta $$

Вторые формулы каждой пары получаются из первых с учетом

$$ sin ( – \alpha )= -sin \, \alpha $$
$$ cos ( – \alpha )= cos \, \alpha $$

То есть, синус — нечетная функция ( $f(-x)=-f(x)$), а косинус — четная ($f(-x)=f(x)$

В Приложении приведено простое геометрическое доказательство формул сложения.

3 Формулы двойного угла

Они получаются из формул предыдущего пункта в результате
$$ \beta = \alpha { } => \alpha +\beta = \alpha +\alpha = 2 \alpha $$

В результате имеем

$$ sin ( 2 \alpha )=2sin \,\alpha \cdot cos \,\alpha $$
$$ cos ( 2 \alpha )=cos^2 \alpha – sin^2 \alpha $$

4 Варианты основного тригонометрического тождества

Вспомним определение тангенса и котангенса:
$$ tg \,\alpha = \frac { sin\, \alpha } { cos\, \alpha }$$
$$ ctg\, \alpha = \frac { cos\, \alpha } { sin\, \alpha }$$
Разделим теперь основное тригонометрическое тождество на $cos^2 \alpha$:
$$ \frac { \sin^2 \alpha + cos^2 \alpha } {cos^2 \alpha}= \frac {1} { cos^2 \alpha} $$
Разделив почленно в правой части равенства, получаем окончательно соотношение для тангенса

$$ tg^2 \alpha + 1 = \frac {1} { cos^2 \alpha} $$
Разделив основное тригонометрическое тождество на $sin^2 \alpha$, аналогично получим соотношение для котангенса:
$$ ctg^2 \alpha + 1 = \frac {1} { sin^2 \alpha} $$

4 Это весь необходимый минимум

Запомните формулы из пункта 2 и научитесь выводить формулы из остальных пунктов данной статьи.

В дальнейшем мы выведем из этого набора формул все остальные.
Удачи на экзаменах!

ДВИ МГУ по математике, ЕГЭ по математике, математика, тригонометрия

1,716 total views, 1 views today

Видеоуроки по математике и физике для ЕГЭ и ОГЭ

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по математике и физике 8(915)389-73-44