Содержание
- Прагматическая тригонометрия – Введение
- Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ
- Первая группа выводимых формул
- Вторая группа выводимых формул
- Третья группа выводимых формул
- Формула дополнительного аргумента: частные случаи
- Формула дополнительного аргумента: общий случай
- Список формул. Что дальше?
- Решение неравенств
Итак, мы рассмотрели некоторые формулы тригонометрии, объединив их в группы для удобства вывода и запоминания.
Мы не рассматривали большинство формул с тангенсами и котангенсами. Мы не касались формул тройного угла. Мы оставили обратные тригонометрические функции за пределами нашего рассмотрения.
Наш мини-курс выводимых формул тригонометрии — это мостик, соединяющий весьма ограниченные применения тригонометрии в ЕГЭ и полноценный курс тригонометрии, который имеет смысл пройти любому человеку, желающему получить хорошее техническое или естественно-научное образование.
Для дальнейшего совершенствования тригонометрии, конечно, имеет смысл решать задачи. В качестве источника таких задач, а также замечательного дальнейшего чтения можно рекомендовать И.М.Гельфанд, С.М.Львовский, А.Л.Тоом. Тригонометрия. М.:МЦНМО, 2002. – 199 с. ISBN 5-94057-050-X
Приложение.
Список всех исходных и выведенных формул
А Исходные формулы
1
$$ sin ( – \alpha )= -sin \, \alpha $$
$$ cos ( – \alpha )= cos \, \alpha $$
$$ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 $$
2
$$ sin ( \alpha +\beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta + cos\, \alpha \cdot sin\, \beta $$
$$ sin ( \alpha – \beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta – cos \,\alpha\cdot sin\, \beta $$
$$ cos ( \alpha +\beta)=cos \,\alpha \cdot cos \,\beta – sin\, \alpha\cdot sin\, \beta $$
$$ cos ( \alpha – \beta)=cos\, \alpha \cdot cos\, \beta + sin\, \alpha \cdot sin\, \beta $$
B Выводимые формулы
3
$$ sin ( 2 \alpha )=2sin \,\alpha \cdot cos \,\alpha $$
$$ cos ( 2 \alpha )=cos^2 \alpha – sin^2 \alpha $$
4
$$ tg^2 \alpha + 1 = \frac {1} { cos^2 \alpha} $$
$$ ctg^2 \alpha + 1 = \frac {1} { sin^2 \alpha} $$
5
$$ cos ( 2 \alpha )=2cos^2 \alpha – 1 $$
$$ cos ( 2 \alpha )=1 – 2sin^2 \alpha $$
$$ cos^2 \alpha = \frac {cos ( 2 \alpha ) + 1} {2} $$
$$ sin^2 \alpha=\frac {1 – cos ( 2 \alpha )} {2} $$
6
$$ cos^2 \bigg(\frac { \beta} {2} \bigg)= \frac {1+cos ( \beta)} {2} $$
$$ sin^2 \bigg(\frac { \beta} {2} \bigg)=\frac {1 – cos ( \beta )} {2} $$
$$ ctg^2 \bigg(\frac { \beta} {2} \bigg)= \frac {1+cos ( \beta)} {1 – cos ( \beta )} $$
$$ tg^2 \bigg(\frac { \beta} {2} \bigg)=\frac {1 – cos ( \beta )} {1+cos ( \beta) } $$
7
$$ sin\, \alpha \cdot cos\, \beta = \frac {1} {2} \big( sin ( \alpha +\beta) + sin ( \alpha – \beta) \big) $$
$$ сos \,\alpha \cdot cos \,\beta = \frac{1} {2} \big( cos ( \alpha +\beta) +cos ( \alpha – \beta) \big) )$$
$$ sin\, \alpha \cdot sin\, \beta = \frac{1} {2} \big( cos ( \alpha – \beta) – cos ( \alpha +\beta) \big) $$
8
$$ sin ( A) \pm sin (B)= 2 sin \big( \frac {A \pm B} {2} \big) \cdot cos \big( \frac {A\mp B} {2} \big) $$
$$ cos ( A) + cos (B)= 2 cos \big( \frac {A+B} {2} \big) \cdot cos \big( \frac {A-B} {2} \big) $$
$$ cos ( A) – cos (B)= -2 sin \big( \frac {A-B} {2} \big) \cdot sin \big( \frac {A+B} {2} \big) $$
9
$$ A sin\, \beta +B cos\, \beta = {\sqrt{A^2 + B^2}} \cdot sin\, (\beta + \phi ) $$
где
$$ \phi = arctg \, \bigg( \frac {B} {A} \bigg) $$
ДВИ МГУ по математике, ЕГЭ по математике, математика, тригонометрия
