Содержание
- Прагматическая тригонометрия – Введение
- Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ
- Первая группа выводимых формул
- Вторая группа выводимых формул
- Третья группа выводимых формул
- Формула дополнительного аргумента: частные случаи
- Формула дополнительного аргумента: общий случай
- Список формул. Что дальше?
- Решение неравенств
В этой статье и видео репетитор по математике и физике, метро Отрадное, рассматривает вторую группу выводимых формул тригонометрии, которые могут нам понадобиться для решения задач ЕГЭ, включая 13, 15(весьма редко) и 18.
1 Произведение синусов, косинусов и синуса на косинус.
В пункте 3 второй статьи Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ мы вспомнили формулы синуса суммы и разности:
$$ sin ( \alpha +\beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta + cos\, \alpha \cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(1)$$
$$ sin ( \alpha – \beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta – cos \,\alpha\cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(2)$$
а также косинуса суммы и разности:
$$ cos ( \alpha +\beta)=cos \,\alpha \cdot cos \,\beta – sin\, \alpha\cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(3)$$
$$ cos ( \alpha – \beta)=cos\, \alpha \cdot cos\, \beta + sin\, \alpha \cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(4)$$
Выведем отсюда несколько формул, связывающих произведения синусов, косинусов или синуса на косинус с синусом сумма и разности и с косинусом суммы и разности.
1.1 Синус на косинус
Заметим, что формулы (1) и (2) отличаются только знаками. Сложим (1) и (2):
$$ sin ( \alpha +\beta) + sin ( \alpha – \beta)= 2 sin\, \alpha \cdot cos\, \beta \,\,\,\,\,(5)$$
Первые слагаемые в правой части удвоились, вторые — сократились. Это и есть наш результат, осталось переписать его наоборот, поменяв местами правую и левую части:
$$ 2 sin\, \alpha \cdot cos\, \beta = sin ( \alpha +\beta) + sin ( \alpha – \beta) \,\,\,\,\,(5.1)$$
Еще можно раделить обе части тождества на 2, получив формулу, которую приводят в большинстве учебников:
$$ sin\, \alpha \cdot cos\, \beta = \frac {1} {2} \big( sin ( \alpha +\beta) + sin ( \alpha – \beta) \big) \,\,\,\,\,(5.2)$$
1.2 Произведение косинусов
Теперь сложим формулы (3) и (4). Получим справа убвоенное произведение косинусов:
$$ cos ( \alpha +\beta) +cos ( \alpha – \beta)= 2сos \,\alpha \cdot cos \,\beta \,\,\,\,\,(6)$$
Как и в предыдущем пункте, мы выражаем правую часть через левую:
$$ 2сos \,\alpha \cdot cos \,\beta = cos ( \alpha +\beta) +cos ( \alpha – \beta) \,\,\,\,\,(6.1)$$
$$ сos \,\alpha \cdot cos \,\beta = \frac{1} {2} \big( cos ( \alpha +\beta) +cos ( \alpha – \beta) \big) \,\,\,\,\,(6.2)$$
1.3 Произведение синусов
Теперь вычтем (3) из (4). В результате получим
$$ cos ( \alpha – \beta) – cos ( \alpha +\beta)=2 sin\, \alpha \cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(7)$$
Как и раньше, выражая правую часть через левую, получаем окончательно
$$ 2 sin\, \alpha \cdot sin\, \beta = cos ( \alpha – \beta) – cos ( \alpha +\beta) \,\,\,\,\,(7.1)$$
$$ sin\, \alpha \cdot sin\, \beta = \frac{1} {2} \big( cos ( \alpha – \beta) – cos ( \alpha +\beta) \big) \,\,\,\,\,(7.2)$$
3 Заключение
Выводы, как и раньше, очень простые. Фактически, надо просто помнить, что такие формулы существуют, и тогда эти выводы не представляют никакого труда. Если вы один или два раза проделаете это самостоятельно, вы сможете при необходимости очень быстро вывести эти формулы, вся сложность которых заключается в том, что они используются нечасто.
ДВИ МГУ по математике, ЕГЭ по математике, математика, тригонометрия
643 total views, 1 views today