Вторая группа выводимых формул

Содержание

  1.  Прагматическая тригонометрия — Введение
  2. Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ
  3. Первая группа выводимых формул
  4. Вторая группа выводимых формул
  5. Третья группа выводимых формул
  6. Формула дополнительного аргумента: частные случаи
  7. Формула дополнительного аргумента: общий случай
  8. Список формул. Что дальше?

В этой статье и видео репетитор по математике и физике, метро Отрадное, рассматривает вторую группу выводимых формул тригонометрии, которые могут нам понадобиться для решения задач ЕГЭ, включая 13, 15(весьма редко) и 18.

1 Произведение синусов, косинусов и синуса на косинус.

В пункте 3 второй статьи Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ мы вспомнили формулы синуса суммы и разности:

$$ sin ( \alpha +\beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta + cos\, \alpha  \cdot  sin\, \beta \,\,\,\,\,(1)$$
$$ sin ( \alpha — \beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta — cos \,\alpha\cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(2)$$

а также косинуса суммы и разности:

$$ cos ( \alpha +\beta)=cos \,\alpha \cdot cos \,\beta — sin\, \alpha\cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(3)$$
$$ cos ( \alpha — \beta)=cos\, \alpha \cdot cos\, \beta + sin\, \alpha \cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(4)$$

Выведем отсюда несколько формул, связывающих произведения синусов, косинусов или синуса на косинус с синусом сумма и разности и с косинусом суммы и разности.

1.1 Синус на косинус

Заметим, что формулы (1) и (2) отличаются только знаками. Сложим (1) и (2):

$$ sin ( \alpha +\beta) + sin ( \alpha — \beta)= 2 sin\, \alpha \cdot cos\, \beta \,\,\,\,\,(5)$$

Первые слагаемые в правой части удвоились, вторые — сократились. Это и есть наш результат, осталось переписать его наоборот, поменяв местами правую и левую части:

$$ 2 sin\, \alpha \cdot cos\, \beta = sin ( \alpha +\beta) + sin ( \alpha — \beta) \,\,\,\,\,(5.1)$$

Еще можно раделить обе части тождества на 2, получив формулу, которую приводят в большинстве учебников:

$$ sin\, \alpha \cdot cos\, \beta = \frac {1} {2} \big( sin ( \alpha +\beta) + sin ( \alpha — \beta) \big) \,\,\,\,\,(5.2)$$

1.2 Произведение косинусов

Теперь сложим формулы (3) и (4). Получим справа убвоенное произведение косинусов:

$$ cos ( \alpha +\beta) +cos ( \alpha — \beta)= 2сos \,\alpha \cdot cos \,\beta \,\,\,\,\,(6)$$

Как и в предыдущем пункте, мы выражаем правую часть через левую:

$$ 2сos \,\alpha \cdot cos \,\beta = cos ( \alpha +\beta) +cos ( \alpha — \beta) \,\,\,\,\,(6.1)$$
$$ сos \,\alpha \cdot cos \,\beta = \frac{1} {2} \big( cos ( \alpha +\beta) +cos ( \alpha — \beta) \big) \,\,\,\,\,(6.2)$$

1.3 Произведение синусов

Теперь вычтем (3) из (4). В результате получим

$$ cos ( \alpha — \beta) — cos ( \alpha +\beta)=2 sin\, \alpha \cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(7)$$

Как и раньше, выражая правую часть через левую, получаем окончательно

$$ 2 sin\, \alpha \cdot sin\, \beta = cos ( \alpha — \beta) — cos ( \alpha +\beta) \,\,\,\,\,(7.1)$$
$$ sin\, \alpha \cdot sin\, \beta = \frac{1} {2} \big( cos ( \alpha — \beta) — cos ( \alpha +\beta) \big) \,\,\,\,\,(7.2)$$

3 Заключение

Выводы, как и раньше, очень простые. Фактически, надо просто помнить, что такие формулы существуют, и тогда эти выводы не представляют никакого труда.Если вы один или два раза проделаете это самостоятельно, вы сможете при необходимости очень быстро вывести эти формулы, вся сложность которых заключается в том, что они используются нечасто.


ДВИ МГУ по математике, ЕГЭ по математике, математика, тригонометрия

64 просмотров всего, 2 просмотров сегодня

Поделиться ссылкой: