Содержание
- Прагматическая тригонометрия — Введение
- Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ
- Первая группа выводимых формул
- Вторая группа выводимых формул
- Третья группа выводимых формул
- Формула дополнительного аргумента: частные случаи
- Формула дополнительного аргумента: общий случай
- Список формул. Что дальше?
- Решение неравенств
В этой статье и видео репетитор по математике и физике, метро Отрадное, рассматривает третью группу выводимых формул тригонометрии, которые могут нам понадобиться для решения задач ЕГЭ, включая 13, 15(весьма редко) и 18. Конечно, предлагаемое деление на группы условно и произведено исключительно с целью систематизации и лучшего запоминания.
1 Сумма синусов и косинусов
Мы используем полученные в предыдущей статье формулы для вывода новых. Нам понадобятся следующие формулы из предыдущей статьи (для вашего удобства нумерация формул сквозная, как в книге):
$$ sin ( \alpha +\beta) + sin ( \alpha — \beta)= 2 sin\, \alpha \cdot cos\, \beta \,\,\,\,\,(5)$$
$$ cos ( \alpha +\beta) +cos ( \alpha — \beta)= 2 сos\, \alpha \cdot cos\, \beta \,\,\,\,\,(6)$$
$$ cos ( \alpha — \beta) — cos ( \alpha +\beta)=2 sin\, \alpha \cdot sin\, \beta \,\,\,\,\,(7)$$
Совершим небольшие манипуляции с углами, которые, при всей их простоте и очевидности, позволит нам получить новый тип формул. Введем новые обозначения:
$$ \alpha +\beta = A \,\,\,\,\,(8.1)$$
$$ \alpha -\beta = B \,\,\,\,\,(8.2)$$
Выразим теперь из формул (8) $ \alpha$ и $\beta $. Другими словами, рассматривая соотношения (8.1) и (8.2) как систему линейных уравнений, выразим $ \alpha$ и $\beta $ через $ A$ и $B$:
$$ \alpha = \frac {A+B} {2} \,\,\,\,\,(9.1)$$
$$ \beta = \frac {A-B} {2} \,\,\,\,\,(9.2)$$
Теперь подставим полученные соотношения в (5), (6) и (7). Получим:
$$ sin ( A) + sin (B)= 2 sin \big( \frac {A+B} {2} \big) \cdot cos \big( \frac {A-B} {2} \big) \,\,\,\,\,(10)$$
$$ cos ( A) + cos (B)= 2 cos \big( \frac {A+B} {2} \big) \cdot cos \big( \frac {A-B} {2} \big) \,\,\,\,\,(11)$$
$$ cos ( B) — cos (A)= 2 sin \big( \frac {A+B} {2} \big) \cdot sin \big( \frac {A-B} {2} \big) \,\,\,\,\,(12)$$
Последнюю формулу этой группы получим из (10), заменив в ней $B$ на $-B$, и воспользовавшись нечетностью синуса:
$$ sin ( A) — sin (B)= 2 sin \big( \frac {A-B} {2} \big) \cdot cos \big( \frac {A+B} {2} \big) \,\,\,\,\,(13)$$
2 Формулы для запоминания и мнемоническое правило
Для лучшего запоминания формулу (12) обычно пишут в таком виде
$$ cos ( A) — cos (B)= -2 sin \big( \frac {A-B} {2} \big) \cdot sin \big( \frac {A+B} {2} \big) \,\,\,\,\,(14)$$
Набор формул для запоминания, в котором все агрументы идут в одном порядке, выглядит так:
$$ sin ( A) \pm sin (B)= 2 sin \big( \frac {A \pm B} {2} \big) \cdot cos \big( \frac {A\mp B} {2} \big) \,\,\,\,\,(15.1)$$
$$ cos ( A) + cos (B)= 2 cos \big( \frac {A+B} {2} \big) \cdot cos \big( \frac {A-B} {2} \big) \,\,\,\,\,(15.2)$$
$$ cos ( A) — cos (B)= -2 sin \big( \frac {A-B} {2} \big) \cdot sin \big( \frac {A+B} {2} \big) \,\,\,\,\,(15.3)$$
Мнемоническое правило, позволяющее запомнить последнюю формулу, звучит так: «минус — синус» — спасибо Таисии Васильевне, которая сказала нам это 45 лет назад. Кроме того, аргумент всегда под синусом, если синус в формуле есть.
2 Упражнения
Решите уравнения
$$ sin\, 7x + sin\, 6x = sin\, x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \bigg[x=\frac{k \pi} {3}, \frac{(2k+1) \pi} {7}, k \in Z \bigg]$$
$$ sin\, 6x + sin\, 5x = sin\, x \,\,\,\,\,\,\,\,\, \bigg[x={(2k+1) \pi} , \frac{(4k+1) \pi} {12}, \frac{(4k-1) \pi} {10}, k \in Z \bigg]$$
$$ sin\, 8x — sin\, 7x = sin\, x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \bigg[x=\frac{k \pi} {4}, \frac{2k \pi} {7}, k \in Z \bigg]$$
$$ sin\, 8x — sin\, 9x = sin\, x \,\,\,\,\,\, \bigg[x={2k \pi} ,\frac{(4k+1) \pi} {18}, \frac{(4k+1) \pi} {16}, k \in Z \bigg]$$
(ДВИ МГУ 2017)
3 Заключение
И снова, как мы видим, выводы формул очень простые. Фактически, надо просто помнить, что такие формулы существуют, и тогда вы легко повторите это, когда возникнет необходимость.
ДВИ МГУ по математике, ЕГЭ по математике, задачи части C ЕГЭ по математике с параметром, математика, тригонометрия
