Эффективные расчеты в ЕГЭ и ОГЭ

Вряд ли кто будет оспаривать тот факт, что по речи человека мы довольно легко можем определить уровень его общей культуры и образования. Совершенно аналогична ситуация с расчетами в математике. То, как человек считает, показывает уровень его математического развития и культуры.

К сожалению, в школе учат так, что превалирует умножение и деление в столбик. Например, возводя число 49 в квадрат, средний школьник будет умножать в столбик. Гораздо полезнее с точки зрения безошибочных и эффективных расчетов сделать так:

$$ 49^2 = (50-1)^2=50^2 – 2 \cdot 50 \cdot 1 + 1^2 = $$
$$=25 \cdot 100 – 100 +1 = (25-1) \cdot 100+1=2401$$

Этот способ вычислений приводит к меньшему проценту ошибок, потому что, если вдуматься, в этом случае вы разбиваете более сложную задачу на несколько более простых. Фактически, все, как в случае с простыми механизмами в физике. Используя их, мы проигрываем в пути, но выигрываем в работе. Разве построили бы египтяне пирамиды без простых механизмов типа рычага или блока? Вопрос риторический.

Вопрос эффективных расчетов в ЕГЭ крайне важен, и я уже писал на эту тему в статье Арифметические вычисления в ЕГЭ по математике. Здесь мы развиваем тему, приводя дальнейшие примеры.

1 Основные приемы эффективных вычислений

Практически невозможно перечислить все приемы эффективных и, тем самым, безошибочных вычислений, но вот список тех, что я использую наиболее часто. Причем в этих пунктах речь идет не только об арифметических, но и об алгебраических вычислениях.

1.1 Представление чисел и выражений в виде суммы или разности более простых
1.2 Использование формул сокращенного умножения
1.3 Вынесение за скобки общих множителей
1.4 Разложение чисел на простые множители
1.5 Деление и умножение знаменателя дроби на одно и то же число или выражение, не равное нулю.

2 Пример эффективных вычислений в задаче 17 ЕГЭ (финансовая математика)

Введем обозначения. Пусть $ S=2320500$ — сумма кредита, $m=1+0,01 \cdot r$, $r=10$ — процент кредита. Начисление процентов на $S$ состоит в том, что $S$ умножается на $m$.

Рассмотрим выплату кредита за два года, обозначив за $X$ сумму ежегодного платежа:

$$ 1) S\cdot m-X$$
$$ 2) (S\cdot m-X)\cdot m – X = 0$$

Из последнего уравнения находим $X$:

$$ X = \frac {S\cdot m^2} {(1+m)}$$

Теперь рассмотрим выплату кредита за четыре года, обозначив за $Y$ сумму ежегодного платежа в этом случае:

$$ 1) S\cdot m-Y$$
$$ 2) (S\cdot m-Y)\cdot m – Y $$
$$ 3) ((S\cdot m-Y)\cdot m – Y)\cdot m – Y $$
$$ 4) (((S\cdot m-Y)\cdot m – Y)\cdot m – Y)\cdot m – Y = 0$$

Из последнего уравнения находим Y:

$$ Y = \frac {S\cdot m^4} {(1+m+m^2+m^3)}$$

До этого момента вычисления совершенно стандартны. Я даже упомяну саму распространенную ошибку — вместо ${(1+m+m^2+m^3)}$ в знаменателе дроби пишут ${(1-m-m^2-m^3)}$. Нет, только плюсы, нужно аккуратно, без спешки приводить подобные члены.
Теперь мы можем записать условие задачи, не забыв учесть количество платежей (тоже распространенная ошибка!).

Нам нужно вычислить величину

$$d = 4Y – 2X $$

Именно здесь начинается эффективный счет. Первым делом, вынесем за скобки все очевидные общие множители:

$$d = 4Y – 2X = 2{S\cdot m^2} \bigg ( \frac {2} {(1+m+m^2+m^3)} — \frac {1} {(1+m)} \bigg) $$

Очень важно заметить, что мы еще можем вынести $(1+m)$ из знаменателя. Этот шаг резко упрощает вычисления. Для того, чтобы это заметить, рассмотрим первый знаменатель отдельно:

$$(1+m+m^2+m^3) = (1+m) \cdot (1+m^2)$$

В результате получаем:

$$d = 4Y – 2X = \frac {2S\cdot m^2} {(1+m)} \bigg ( \frac {2m^2} {(1+m^2)} — 1 \bigg) $$

Учитывая, что $m=1,1$ и $m^2=1,21$, получаем

$$d =  \frac {2\cdot 2320500 \cdot 1,21} {2,1} \bigg ( \frac {2 \cdot 1,21} {2,21} — 1 \bigg) =$$

$$ =  \frac {2\cdot 2320500 \cdot 1,21} {2,1} \bigg ( \frac { 2,42-2,21} {2,21} \bigg) = $$

$$ =  \frac {2\cdot 2320500 \cdot 1,21} {2,1} \bigg ( \frac {0,21} {2,21} \bigg) $$

Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на 100, избавимся от десятичных дробей:

$$d =  \frac {2\cdot 2320500 \cdot 121 \cdot 21} {210 \cdot 221}  $$

Сокращая на 10 и затем на 21, получаем

$$d =  \frac {2\cdot 232050 \cdot 121 } { 221}  $$

Далее опыт решения подобных задач подсказывает нам, что один из сомножителей в числителе должен делиться на 221.  Поскольку 121 не делится на 221, проверяем  $232050 : 221= 1050$. Таким образом, задача решена:

$$d =  {2\cdot 1050 \cdot 121 } = 254100$$

В качестве упражнения можете попробовать получить этот ответ прямыми вычислениями, не проводя никаких преобразований. Вы убедитесь, что это гораздо труднее, особенно с учетом уже накопившейся к этому моменту на экзамене усталости.

3 Подводя итоги

В предыдущем пункте я а конкретном примере проиллюстрировал некоторые способы эффективных вычислений. Дальнейшие примеры можно найти в уже цитированной статье Арифметические вычисления в ЕГЭ по математике  и во многих других источниках. Хочу еще раз подчеркнуть, что эффективные вычисления — не набор забавных трюков, а суровая необходимость, диктуемая нам, во многом, составителями экзаменов по математике.

Мой настоятельный совет — овладеть эффективными вычислениями и считать только таким образом. Это действительно позволяет минимизировать количество ошибок.
Успехов на экзаменах!


ЕГЭ по математике, как не ошибаться, как не ошибаться в ЕГЭ по математике, ОГЭ по математике, эффективные расчеты

113 просмотров всего, 2 просмотров сегодня

Поделиться ссылкой: