Содержание
- Прагматическая тригонометрия – Введение
- Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ
- Первая группа выводимых формул
- Вторая группа выводимых формул
- Третья группа выводимых формул
- Формула дополнительного аргумента: частные случаи
- Формула дополнительного аргумента: общий случай
- Список формул. Что дальше?
- Решение неравенств
В этой статье и видео репетитор по математике и физике, метро Отрадное, рассматривает пожалуй, самую сложную из выводимых формул тригонометрии, которые могут нам понадобиться для решения задач ЕГЭ, включая 13, 15(редко) и 18. Как и раньше, важно себе представлять, что такая формула есть, и при необходимости ее вывести.
1 Преобразование выражений типа синус с коэффициентом плюс-минус косинус с коэффициентом.
Наше рассмотрение будет основано на четырех основных формулах тригонометрии: синусе суммы и разности и косинусе суммы и разности:
$$ sin ( \alpha +\beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta + cos\, \alpha \cdot sin\, \beta $$
$$ sin ( \alpha – \beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta – cos \,\alpha\cdot sin\, \beta $$
$$ cos ( \alpha +\beta)=cos \,\alpha \cdot cos \,\beta – sin\, \alpha\cdot sin\, \beta $$
$$ cos ( \alpha – \beta)=cos\, \alpha \cdot cos\, \beta + sin\, \alpha \cdot sin\, \beta $$
Кроме того, иногда в такого типа выводах бывает нужно применить свойства четности основных тригонометрических функций:
$$ sin ( – \alpha )= -sin \, \alpha $$
$$ cos ( – \alpha )= cos \, \alpha $$
То есть, синус — нечетная функция ( $f(-x)=-f(x)$), а косинус — четная ($f(-x)=f(x)$
Допустим, у нас есть выражение вида
$$ A \cdot cos\, \beta + B \cdot sin\, \beta $$
где $A$ и $B$ – произвольные действительные числа. Сначала мы научимся преобразовывать выражения такого типа при некоторых частных значениях $A$ и $B$, а потом получим общую формулу.
2 Случай $A=B$
В этом случае достаточно понять, что делать, если
$$A=B=1$$
Действительно, достаточно вынести $A$ за скобки, и преобразовать выражение в скобках.
$$ A \cdot cos\, \beta + B \cdot sin\, \beta = A \big( cos\, \beta + sin\, \beta \big) $$
Идея преобразования состоит в том, чтобы использовать формулу синус суммы, в котором в правой части есть и косинус, и синус.
$$ sin ( \alpha +\beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta + cos\, \alpha \cdot sin\, \beta $$
Но косинус и синус в правой части умножаются на синус и косинус другого угла, соответственно. Идея в том, чтобы превратить наши коэффициенты в синус и косинус какого-то фиксированного угла, который можно вычислить, зная изначальные коэффициенты. Глядя на табличные значения синуса и косинуса, мы вспоминаем, что среди них есть равные:
$$ sin \big( \frac {\pi} {4} \big)= \frac {\sqrt{2}} {2} $$
$$ cos\big( \frac {\pi} {4} \big)= \frac {\sqrt{2}} {2} $$
Воспользуемся этим:
$$ sin\, \beta + cos\, \beta = 1 \cdot \big( sin\, \beta + cos\, \beta \big) =$$
$$ = \frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \frac {\sqrt{2}} {2}\big( sin\, \beta + cos\, \beta \big) =$$
$$ =\frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \big( sin\, \beta \cdot \frac {\sqrt{2}} {2} + cos\, \beta \cdot \frac {\sqrt{2}} {2} \big) =$$
$$ =\frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \bigg( sin\, \beta \cdot cos\big( \frac {\pi} {4} \big) + cos\, \beta \cdot sin \big( \frac {\pi} {4} \big) \bigg) =$$
$$= \frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \bigg( sin \big( \beta +\frac {\pi} {4} \big) \bigg) $$
То есть, мы получили такую формулу:
$$ sin\, \beta + cos\, \beta = \frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \bigg( sin \big( \beta +\frac {\pi} {4} \big) \bigg) $$
2 Случай $A=1, B=\sqrt{3}$
Совершенно аналогично можно получить формулу
$$ sin\, \beta + \sqrt{3} cos\, \beta = 2 \cdot \bigg( sin \big( \beta +\frac {\pi} {3} \big) \bigg) $$
воспользовавшись табличными значениями
$$ sin \big( \frac {\pi} {3} \big)= \frac {\sqrt{3}} {2} $$
$$ cos\big( \frac {\pi} {3} \big)= \frac {1} {2} $$
Оставляю это вам в качестве упражнения, равно как и случай $A=\sqrt{3}, B=1$. Эти случаи исчерпывают все возможности табличных значений. То есть, при других значениях коэффициентов мы должны применять общую формулу дополнительного аргумента.
3 Заключение
Мы рассмотрели частные случая формулы дополнительного аргумента. В следующей статье мы рассмотрим общий случай.
ДВИ МГУ по математике, ЕГЭ по математике, математика, тригонометрия
772 total views, 1 views today