Формула дополнительного аргумента: частные случаи

Содержание

  1.  Прагматическая тригонометрия — Введение
  2. Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ
  3. Первая группа выводимых формул
  4. Вторая группа выводимых формул
  5. Третья группа выводимых формул
  6. Формула дополнительного аргумента: частные случаи
  7. Формула дополнительного аргумента: общий случай
  8. Список формул. Что дальше?

В этой статье и видео репетитор по математике и физике, метро Отрадное, рассматривает пожалуй, самую сложную из выводимых формул тригонометрии, которые могут нам понадобиться для решения задач ЕГЭ, включая 13, 15(редко) и 18. Как и раньше, важно себе представлять, что такая формула есть, и при необходимости ее вывести.

1 Преобразование выражений типа синус с коэффициентом плюс-минус косинус с коэффициентом.

Наше рассмотрение будет основано на четырех основных формулах тригонометрии: синусе суммы и разности и косинусе суммы и разности:

$$ sin ( \alpha +\beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta + cos\, \alpha  \cdot  sin\, \beta $$
$$ sin ( \alpha — \beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta — cos \,\alpha\cdot sin\, \beta $$

$$ cos ( \alpha +\beta)=cos \,\alpha \cdot cos \,\beta — sin\, \alpha\cdot sin\, \beta $$
$$ cos ( \alpha — \beta)=cos\, \alpha \cdot cos\, \beta + sin\, \alpha \cdot sin\, \beta $$

Кроме того, иногда в такого типа выводах бывает нужно применить свойства четности основных тригонометрических функций:

$$ sin ( — \alpha )= -sin \, \alpha $$
$$ cos ( — \alpha )= cos \, \alpha $$

То есть, синус — нечетная функция ( $f(-x)=-f(x)$), а косинус — четная ($f(-x)=f(x)$

Допустим, у нас есть выражение вида

$$ A \cdot cos\, \beta + B  \cdot  sin\, \beta $$

где $A$ и $B$ — произвольные действительные числа. Сначала мы научимся преобразовывать выражения такого типа при некоторых частных значениях $A$ и $B$, а потом получим общую формулу.

2 Случай $A=B$

В этом случае достаточно понять, что делать, если

$$A=B=1$$

Действительно, достаточно вынести $A$ за скобки, и преобразовать выражение в скобках.

$$ A \cdot cos\, \beta + B  \cdot  sin\, \beta = A \big( cos\, \beta + sin\, \beta \big) $$
Идея преобразования состоит в том, чтобы использовать формулу синус суммы, в котором в правой части есть и косинус, и синус.

$$ sin ( \alpha +\beta)=sin\, \alpha \cdot cos\, \beta + cos\, \alpha  \cdot  sin\, \beta $$

Но косинус и синус в правой части умножаются на синус и косинус другого угла, соответственно. Идея в том, чтобы превратить наши коэффициенты в синус и косинус какого-то фиксированного угла, который можно вычислить, зная изначальные коэффициенты. Глядя на табличные значения синуса и косинуса, мы вспоминаем, что среди них есть равные:

$$ sin \big( \frac {\pi} {4} \big)= \frac {\sqrt{2}} {2} $$
$$ cos\big( \frac {\pi} {4} \big)= \frac {\sqrt{2}} {2} $$

Воспользуемся этим:

$$ sin\, \beta + cos\, \beta  = 1 \cdot \big(  sin\, \beta + cos\, \beta  \big) =$$
$$ = \frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \frac {\sqrt{2}} {2}\big(  sin\, \beta + cos\, \beta  \big) =$$
$$ =\frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \big( sin\, \beta  \cdot  \frac {\sqrt{2}} {2} + cos\, \beta \cdot \frac {\sqrt{2}} {2}  \big) =$$
$$ =\frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \bigg( sin\, \beta \cdot cos\big( \frac {\pi} {4} \big) + cos\, \beta  \cdot  sin \big( \frac {\pi} {4} \big) \bigg) =$$
$$= \frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \bigg( sin \big( \beta +\frac {\pi} {4} \big) \bigg) $$

То есть, мы получили такую формулу:

$$ sin\, \beta +  cos\, \beta  = \frac {2} {\sqrt{2}} \cdot \bigg( sin \big( \beta +\frac {\pi} {4} \big) \bigg) $$

 

2 Случай $A=1, B=\sqrt{3}$

Совершенно аналогично можно получить формулу

$$ sin\, \beta + \sqrt{3} cos\, \beta = 2 \cdot \bigg( sin \big( \beta +\frac {\pi} {3} \big) \bigg) $$

воспользовавшись табличными значениями

$$ sin \big( \frac {\pi} {3} \big)= \frac {\sqrt{3}} {2} $$
$$ cos\big( \frac {\pi} {3} \big)= \frac {1} {2} $$

Оставляю это вам в качестве упражнения, равно как и случай $A=\sqrt{3}, B=1$. Эти случаи исчерпывают все возможности табличных значений. То есть, при других значениях коэффициентов мы должны применять общую формулу дополнительного аргумента.

 

3 Заключение

 

Мы рассмотрели частные случая формулы дополнительного аргумента. В следующей статье мы рассмотрим общий случай.


ДВИ МГУ по математике, ЕГЭ по математике, математика, тригонометрия

110 просмотров всего, 1 просмотров сегодня

Поделиться ссылкой: