Первая группа выводимых формул

Содержание

  1.  Прагматическая тригонометрия — Введение
  2. Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ
  3. Первая группа выводимых формул
  4. Вторая группа выводимых формул
  5. Третья группа выводимых формул
  6. Формула дополнительного аргумента: частные случаи
  7. Формула дополнительного аргумента: общий случай
  8. Список формул. Что дальше?

В этой статье и видео репетитор по математике и физике, метро Отрадное, рассматривает первую группу выводимых формул тригонометрии, которые могут нам понадобиться для решения задач ЕГЭ, включая 13, 15(редко) и 18.

1 Вторая группа формул косинуса двойного угла.

В пункте 3 предыдущей статьи Основные формулы тригонометрии для ЕГЭ мы получили, или вспомнили, основные формулы двойного угла:

$$ sin ( 2 \alpha )=2sin \,\alpha \cdot cos \,\alpha $$
$$ cos ( 2 \alpha )=cos^2 \alpha — sin^2 \alpha $$

Выведем из формулы для косинуса несколько формул, связывающих квадрат косинуса или синуса с косинусом двойного угла. Для этого просто возьмем формулу косинуса двойного угла, и перепишем ее с помощью основного тригонометрического тождества не через две функции, а через одну. Сначала через косинус:

$$ cos ( 2 \alpha )=cos^2 \alpha — sin^2 \alpha $$
$$ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \: <=> sin^2 \alpha =1- cos^2 \alpha $$

$$ cos ( 2 \alpha )=cos^2 \alpha — sin^2 \alpha <=> cos ( 2 \alpha )=cos^2 \alpha — (1- cos^2 \alpha) <=> $$

$$ <=> cos ( 2 \alpha )=2cos^2 \alpha — 1 $$

Теперь — все то же самое, только через синус:

$$ cos ( 2 \alpha )=cos^2 \alpha — sin^2 \alpha $$
$$ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \: <=> cos^2 \alpha =1- sin^2 \alpha $$

$$ cos ( 2 \alpha )=cos^2 \alpha — sin^2 \alpha <=> cos ( 2 \alpha )=(1- sin^2 \alpha ) — sin^2 \alpha)<=> $$

$$ <=> cos ( 2 \alpha )=1 — 2sin^2 \alpha $$

Мы получили новый вид формул косинуса двойного угла:

$$ cos ( 2 \alpha )=2cos^2 \alpha — 1 $$

$$ cos ( 2 \alpha )=1 — 2sin^2 \alpha $$

Если выразить квадраты синуса и косинуса через все остальное, то получим:

$$ 2cos^2 \alpha = cos ( 2 \alpha ) + 1 $$

$$ 2sin^2 \alpha=1 — cos ( 2 \alpha ) $$

Если разделить обе части этих тождеств на 2, то можно записать эти формулы в таком виде:

$$ cos^2 \alpha = \frac {cos ( 2 \alpha ) + 1} {2} $$

$$ sin^2 \alpha=\frac {1 — cos ( 2 \alpha )} {2} $$

Проблема в том, что эти формулы применяются примерно в одном случае из пятидесяти, то есть, довольно редко. Именно поэтому самое прагматичное — знать, что они есть, и помнить, как их вывести. Именно так мы никогда не ошибемся в знаках.

2 формулы половинного угла

Взглянем по-другому на те формулы, что мы получили. Сделаем замену
$$ 2 \alpha = \beta \: , \: \alpha = \frac { \beta} {2} $$
Тогда получим формулы половинного угла:
$$ cos^2 \bigg(\frac { \beta} {2} \bigg)= \frac {1+cos ( \beta)} {2} $$
$$ sin^2 \bigg(\frac { \beta} {2} \bigg)=\frac {1 — cos ( \beta )} {2} $$

Поочередно разделив одно тожество на другое, получим формулы половинного угла для тангенса и котангенса:
$$ ctg^2 \bigg(\frac { \beta} {2} \bigg)= \frac {1+cos ( \beta)} {1 — cos ( \beta )} $$
$$ tg^2 \bigg(\frac { \beta} {2} \bigg)=\frac {1 — cos ( \beta )} {1+cos ( \beta) } $$

3 Заключение

Как видите, выводы очень простые. Если вы один или два раза проделаете это самостоятельно, вы будете помнить, что такие формулы существуют и их можно очень быстро вывести.


ДВИ МГУ по математике, ЕГЭ по математике, математика, тригонометрия

104 просмотров всего, 1 просмотров сегодня

Поделиться ссылкой: